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摘 要： 摘 要：針對經濟實用型并聯機器人關節間隙對動平臺位置精度與系統振動特性影響的問題，以 Delta 機器人為研究對象，利用數理統計原理對含關節間隙的 Delta 機器人支鏈進行了運動學分析，結合 Lankarani-Nikravesh 碰撞接觸力模型與具有動態修正系數的 Coulomb 摩擦模型
摘 要：針對經濟實用型并聯機器人關節間隙對動平臺位置精度與系統振動特性影響的問題，以 Delta 機器人為研究對象，利用數理統計原理對含關節間隙的 Delta 機器人支鏈進行了運動學分析，結合 Lankarani-Nikravesh 碰撞接觸力模型與具有動態修正系數的 Coulomb 摩擦模型對關節間隙廣義碰撞力進行了研究。利用空間有限元理論與拉格朗日方程，充分考慮主、從動臂的空間動力特性與運動協調關系，建立了 Delta 機器人彈性動力學模型，在定義桿件虛長度的基礎上，將關節間隙產生的廣義碰撞力結合到彈性動力學模型中，建立了含關節間隙的 Delta 機器人彈性動力學模型。借助 FARO 激光跟蹤儀對間隙彈性動力學模型進行了驗證分析，利用脈沖錘擊法與 Workbench 軟件仿真對 Delta 機器人的振動特性進行了研究分析。試驗結果表明，考慮關節間隙時動平臺中心點的運動軌跡較不考慮關節間隙時更靠近試驗運行結果，驗證了間隙彈性動力學模型的合理性與正確性，并且，系統前兩階非零固有頻率的理論值與試驗值的相對誤差分別為 3.544% 和 12.026%，兩者相當接近。另外，由仿真結果可以發現 3 組從動臂是 Delta 機器人整機系統中最薄弱的環節。該研究可為經濟實用型并聯機器人的位置誤差補償與系統減振優化提供參考。
關鍵詞：機器人;運動學;模型;Delta 機器人;關節間隙;彈性動力學;桿件虛長度;廣義碰撞力
0 引 言
并聯機器人作為機器人家族重要一員[1-5]，在食品包裝[6]、農業生產[4-5]、制造加工[7]、航空航天[8]等領域有著廣泛的應用。隨著工業水平的提高，對機器人的速度與精度提出了更高的要求，并聯機器人開始向著高速、輕型化方向發展，影響其動力學性能與振動特性的因素越來越復雜[9-11]，可主要分為以下 2 個方面：1)高速重載工況下，由于機器人桿件的柔性化導致的機器人的彈性振動[12-19];2)由于關節間隙的存在，導致運動過程中關節軸與軸套之間的碰撞振動[20-27]。國內外學者在以上兩個方面做了較多研究工作，但是大都集中在 2 個單獨的領域[12-27]，而對如何綜合考慮桿件柔性與關節間隙對系統工作性能的影響，將間隙運動學模型、廣義碰撞力模型與彈性動力學模型有機地結合起來，尚未見報道。另外，如何系統地分析并聯機器人動力學性能與振動特性也是一個尚待探討的難題。
經調研發現，國內食品包裝生產商對能滿足工作要求，且價格低廉的拾取類并聯機器人需求很大，因此設計一套工作性能良好且造價低廉的Delta類機器人顯得很有意義。目前，商用 Delta 機構主動關節處采用鎖套結構，球鉸兩端采用拉簧，這樣的結構形式固然可以消除關節間隙，但同時對制造加工與安裝的要求非常高，隨之而來的是成本的提高，造價昂貴，對于一般小型食品包裝生產線而言，使用這樣機器人顯然不太經濟。
基于以上認識，本文設計了一臺經濟實用型的 Delta 機器人，以軸線相互垂直的轉動副組成虎克鉸的形式實現球鉸的功能，大大降低了生產產本，但是相應地將在轉動副處產生關節間隙。為在現有機械條件下，盡可能地提高其運動精度與系統的振動穩定性，需對系統含關節間隙的動力學等有關問題進行研究。
1 Delta 機器人系統描述與坐標系建立
Delta 機器人的結構示意圖如圖 1 所示。系統由靜平臺 A1A2A3、動平臺 C1C2C3、主動臂 AiBi、從動臂 BiCi (i=1,2,3)組成。主動臂與靜平臺之間用轉動關節連接，主動臂與從動臂、從動臂與動平臺之間以虎克鉸的形式連接，為了加工裝配與理論分析的方便，這里虎克鉸由 2 個軸線相互垂直的轉動關節代替。在靜、動平臺的中心處分別建立如圖 1 所示的系統坐標系 O-XYZ 與局部坐標系 p-xyz。設動平臺中心 p 相對于坐標系 O-XYZ 的坐標為(x,y,z)。
2 含關節間隙的支鏈運動學模型
Delta 機器人由多根桿件通過轉動關節相連接，由于加工和裝配過程中存在誤差，轉動關節處會不可避免地出現間隙，由分析可知，關節間隙是隨機器人運動狀態的變化而變化的，具有隨機性。基于以上認識，本部分將以數理統計與空間矢量原理為基礎研究含關節間隙的支鏈運動學模型。為了便于分析，挑選 Delta 機器人的任一條支鏈作為研究對象，即 i 為 1,2,3 中的任一常數。
2.1 關節坐標系
設關節坐標系的 xc 方向沿著主動臂、從動臂桿長方向，zc 方向為轉動關節的軸向方向，根據右手定則確定 yc方向。可得到關節坐標系 Cout-xcyczc，如圖 2 所示。
2.2 關節徑向間隙
根據圖 2，可得徑向間隙矢量 Cr=nrΔr，隨著 Delta 機器人運動，在關節徑向方向隨機跳動。nr 徑向間隙單位矢量。為反映關節間隙矢量隨機器人運動狀態變化的隨機性與不確定性，根據數理統計知識，在關節坐標系中建立其概率密度函數。根據徑向關節間隙的特點，對徑向間隙矢量 Cr，設定其分布為正態分布。
2.4 含關節間隙的支鏈運動學模型轉動副的徑向關節間隙是由于軸與軸套中心點不重合造成的[27]，如圖 2 所示，(k+1)、k 桿為由轉動關節連接的兩桿，且(k+1)桿相對于 k 桿可繞轉動副的轉軸做相對轉動，沿著轉動副的軸向做軸向跳動。經分析，轉動副軸的徑向跳動被限制在半徑為 rδ的圓形區域內，則根據平面幾何知識，(k+1)桿上任意一點 N 相對于 k 桿的位置可以確定，如圖 3 所示。
2.4 含關節間隙的支鏈運動學模型
轉動副的徑向關節間隙是由于軸與軸套中心點不重合造成的[27]，如圖 2 所示，(k+1)、k 桿為由轉動關節連接的兩桿，且(k+1)桿相對于 k 桿可繞轉動副的轉軸做相對轉動，沿著轉動副的軸向做軸向跳動。經分析，轉動副軸的徑向跳動被限制在半徑為 rδ的圓形區域內，則根據平面幾何知識，(k+1)桿上任意一點 N 相對于 k 桿的位置可以確定，如圖 3 所示。
3 關節間隙碰撞廣義力分析
由于關節間隙較小，忽略軸在軸套中產生的加速度慣性力，僅考慮軸與軸套發生碰撞時產生的碰撞力與摩擦力，由于軸撞到軸套內壁上任一點的概率是相同的，服從正態分布。則含間隙轉動副的碰撞接觸運動示意圖如圖 5 所示。
由圖 9 可知，考慮關節間隙時動平臺中心點的運動軌跡較不考慮關節間隙時更靠近試驗運行結果，驗證了間隙彈性動力學模型的合理性與正確性。雖然兩者大致趨勢相同但是仍未完全重合，其原因如下：
1)關節間隙是一個隨機變量，在試驗運行過程中其取值具有不確定性，而數值計算時，在軸與軸套未碰撞前，取的是關節間隙矢量的數學期望，所以存在一定的誤差;2)Delta 機器人的間隙彈性動力學模型是一個高度非線性時變方程組，利用 Newmark 法在 MATLAB 中進行數值求解時存在計算誤差;3)安裝 Delta 機器人物理樣機的框架在機器人運行時，會產生輕微抖動，影響動平臺中心點的實際位置。
5.2 系統振動特性試驗分析
為分析 Delta 機器人的振動特性，根據式(26)可知系統的特征方程，求得系統前兩階非零固有頻率理論計算值分別為 148.06、155.67 Hz。這里采用脈沖錘擊法對其進行模態分析，測量當動平臺的中心點在系統坐標中的坐標位置為(0,0,−400)時系統的前三階非零固有頻率，所用到的儀器是 PCB 公司的加速度傳感器、脈沖力錘及 LMS 公司的動態信號采集儀。
由于從動臂的外圓柱面不便于粘接加速度傳感器，這里將加速度傳感器粘接在主動臂與從動臂連接處的接頭上即 bi1、bi2處，成中心對稱分布，另一個加速度傳感器粘接在動平臺的中心點 p 處，共 7 個測量點。隨后，在從動臂與動平臺連接接頭上即 ci1、ci2 處用脈沖力錘敲擊，總共 6 個敲擊點，產生寬頻帶的激勵，使其能夠在較大的頻率范圍內激勵出各階模態，測量 7 個測量點的加速度信號。為了盡量地減少干擾與噪音，在每個激勵點敲擊 5 次，取平均值，現場試驗如圖 10 所示。
本文來源于：《農業工程學報》是由中國農業工程學會主辦的全國性學術期刊，自2005年始為單月刊。本刊設有：農業水土工程，農業裝備工程與機械化，農業信息與電氣技術，農業生物環境與能源工程，土地整理工程，農產品加工工程等欄目。
根據試驗，可取得 7 組頻響數據及頻響幅值疊加圖，從中可確定系統前兩階非零固有頻率的試驗值分別為 153.50、176.95 Hz。另外，為了能更直觀地分析 Delta 機器人前兩階非零固有頻率的模態振型，在 Workbench 中對 Delta 機器人模型進行模態仿真。
由仿真分析可知，系統前兩階非零固有頻率的仿真分別為 145.93、147.40 Hz，并且第一階非零固有頻率的模態振型為 3 個從動臂繞 Z 軸扭轉，第二階非零固有頻率的模態振型為 3 個從動臂繞沿各自的主動臂方向前后擺動。得到理論與試驗的前兩階固有頻率相對誤差分別為 3.544%、12.026%;仿真與試驗的前兩階固有頻率相對誤差分別為 4.693%、16.700%。由此可知，理論計算值相較于仿真值更接近試驗結果，但是仍存在一定的誤差，主要原因是：1)實際物理樣機鉸鏈處的結構與約束十分復雜，而在理論計算與仿真分析中對其進行了適當的簡化;2)理論計算與仿真分析中采用梁單元作為主、從動臂的模型，簡化了實際結構;3)理論計算與仿真分析中沒有考慮銷、螺栓、螺母等小的連接件的影響;4)試驗過程中脈沖錘敲擊質量的好壞對響應數據有較大的影響;5)試驗測量數據與模態辨識存在誤差;6)Workbench 對柔性桿件劃分網格質量好壞對仿真結果有較大影響。
另外，Delta 機器人的前兩階非零模態振型主要是 3 組從動臂的變形，這是因為從動臂相對于主動臂來說是長徑比較大的細長桿，柔性大，更易引起振動變形。因此，在對 Delta 機器人進行減振優化時，應重點考慮改善從動臂的動態特性。
6 結 論
本文提出了一種基于間隙運動學模型、廣義碰撞力模型和有限元理論，建立 Delta 機器人間隙彈性動力學模型的方法，并通過試驗與仿真進行了分析。
1)動力學模型驗證與誤差試驗表明，關節間隙對動平臺位置誤差有著不可忽視的影響，考慮關節間隙更能準確地反映物理樣機的真實運動情況。
2)系統振動特性試驗表明，理論與試驗的前兩階固有頻率相對誤差分別為 3.544%、12.026%，兩者相當接近，間接驗證了間隙彈性動力學模型的正確性，并通過仿真確定了系統最薄弱的環節是從動臂。
該研究可為經濟實用型并聯機器人的誤差補償、結構優化與抑振控制提供參考。 ——論文作者：鄭坤明，張秋菊
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